Els operadors aritmètics principals que utilitzarem són:

Per activar una fórmula:

• 1. Ens situarem en una casella i hi escriurem el signe igual ( = ). Immediatament, apareixerà la barra de fórmules: El que escrivim en la casella quedarà reflectit en la barra de fórmules.

• 2. Una vegada hem escrit la fórmula, cal prémer la tecla “INTRO” i el valor de la fórmula quedarà inserit en la casella.

Aquesta opció de l’Excel ens pot ser útil, per exemple, per generar una nova variable a partir de variables que ja tinguem enregistrades.

Podem veure l'exemple amb les dades de deu municipis de la província de Barcelona que teniu al fitxer “municipis_densitat_poblacio.xls” (Full 1) :

Per obtenir la densitat de població amb l’Excel:

• 1. Ens situarem en la columna lliure següent de les dades de superfície i escriurem el nom de la nova variable en la primera fila («Densitat de població»).
• 2. En la casella següent de la mateixa columna, hi escriurem el signe igual ( = ).
• 3. En la barra de fórmules que apareixerà, hi anotarem la fórmula de càlcul de la densitat del primer municipi d’Arenys de Mar, que serà la «Població» (que tenim a la casella B2), dividit ( / ) per la superfície (casella C2). Podem veure l'exemple en la captura de pantalla següent.

• 4. Quan premem la tecla “INTRO”, el valor de la fórmula quedarà inserit en la casella. Per obtenir els valors de densitat de població de la resta de municipis, només hem d'arrossegar el cursor per la columna fins a l'última fila.

• Els resultats, sense decimals, són els que es mostren a continuació:

Les anàlisis estadístiques es poden mitjançant l’ús del programa com a calculadora, com hem vist anteriorment, o bé utilitzant les anàlisis estadístiques preconfigurades en el full de càlcul.

Així, podem efectuar qualsevol càlcul utilitzant alguna funció predefinida pel programa.

Amb l’Excel, ho podem fer de la manera següent:

• 1. Podem accedir a aquestes funcions mitjançant la seqüència d’instruccions: “INSERTAR” i “FUNCIÓN”.

• 2. En la finestra “CATEGORÍA DE LA FUNCIÓN”, seleccionem l’opció “ESTADÍSTICAS” i en el requadre “NOMBRE DE FUNCIÓN”, l’opció de l'indicador que volem obtenir.

Podem fer un exemple amb les dades que acabem d'exposar.

La funció de l’Excel que ens calcula la mitjana és la funció “PROMEDIO”:

• 1. Així, ens hem de situar a la primera casella buida de la columna de la variable “Població” (casella B12), i seguir la seqüència d’instruccions: “INSERTAR” i “FUNCIÓN”.

• 2. Tal com hem comentat abans, a la finestra “CATEGORÍA DE LA FUNCIÓN” hem de seleccionar l’opció “ESTADÍSTICAS” i en el requadre “NOMBRE DE FUNCIÓN”, l’opció “PROMEDIO”.

• 3. Si premem “Aceptar”, obtindrem:

• 4. Com podem veure, l’Excel introdueix el rang de les caselles on hi ha les dades de la variable “Població” (de B2 a B11), i ens proporciona el valor de la mitjana: 95.224,6.

• 5. Si premem “Aceptar”, obtindrem el valor de la mitjana aritmètica a la casella B12.

L’Excel incorpora una sèrie de programes predefinits que ens permeten dur a terme alguns càlculs estadístics. Per fer-los, el primer que cal fer és activar el mòdul de “ANÁLISIS DE DATOS”. Per activar aquest mòdul cal seguir els passos següents:

• 1. Fer clic en la instrucció “HERRAMIENTAS” de la línia de comandes.

• 2. Fer clic en la comanda “COMPLEMENTOS” del menú desplegat. A continuació, apareixerà una llista dels complements disponibles.

• 3. Dins de la llista, seleccionar la instrucció “HERRAMIENTAS PARA ANÁLISIS”

• 4. Sortir del menú fent clic en la comanda “ACEPTAR”.

Un cop tinguem activats els programes preconfigurats, els passos que hem de seguir per utilitzar-los en el full de càlcul Excel són els següents:

• 1. Fer clic en la comanda “HERRAMIENTAS” del menú principal. A continuació, apareixerà la pantalla següent:

• 2. Fer clic en la instrucció “ANÁLISIS DE DATOS” i s’obrirà el quadre següent:

En el quadre es mostren els programes per efectuar diverses anàlisis estadístiques. En les diferents unitats didàctiques, quan tinguem la necessitat de fer servir algun d’aquests programes preconfigurats ja indicarem l’opció que haurem d’activar.

En molts manuals sobre estadística hi podem trobar definicions de l’estadística, totes perfectament vàlides i que poden diferir en l’accent que poden posar els autors en un aspecte o un altre de la disciplina. Nosaltres proposem una definició que, sense pretendre que sigui original, creiem que incorpora adequadament tots els trets fonamentals en què tots els autors poden estar d’acord.

D’aquesta definició podem extreure les característiques principals de l’estadística, en el sentit de considerar que una part del seu contingut es basa en teories desenvolupades en el si de les Matemàtiques, com ara les teories de la probabilitat o de la mesura, però sens dubte l’estadística té una vessant aplicada molt important, que és la que ens proporciona les tècniques adequades per aconseguir diferents objectius. Aquests objectius es poden centrar en dos aspectes diferents:

1. La mera organització d’un conjunt de dades per simplificar-ne l'anàlisi posterior.
2. La presentació de les característiques principals, mitjançant la representació gràfica o la descripció quantitativa d'aquestes característiques.

Finalment, l’estadística també ens proporciona proves que ens permeten analitzar les dades dins un procés metodològic més ampli d’aplicació del mètode científic per tractar d’obtenir informació amb vista a resoldre problemes de tipus teòric o pràctic.

Ja en la definició anterior hem utilitzat una sèrie de termes o conceptes que, tot i que són d'ús quotidià, requereixen una definició més formal que n'acoti el significat.

Aquests conceptes són els següents:

• Població
• Mostra
• Individu (registre)
• Paràmetre
• Estadístic

En els estudis en què apliquem l’estadística habitualment treballem amb mostres de subjectes o casos, ja sigui per descriure determinades variables d’interès dels subjectes o per tractar d’inferir-ne els valors a escala poblacional. En aquest últim cas, la mostra ha de ser representativa de la població. Les tècniques de mostreig intenten aconseguir l’objectiu d’obtenir mostres representatives.

Així, la mitjana d’edat dels habitants de Barcelona, si fos la població del nostre estudi, seria un paràmetre. Els paràmetres se simbolitzen mitjançant lletres gregues, i generalment són desconeguts.

En el cas anterior dels habitants de Barcelona, si escollíssim una mostra d’aquests habitants i en calculéssim la mitjana d’edat, el valor obtingut seria un estadístic. Els estadístics se simbolitzen mitjançant lletres llatines.

En estadística, estudiem i analitzem variables com ara el sexe, la nacionalitat o l’edat dels individus en el cas de l’exemple que hem vist en l’apartat anterior. Segons les característiques que a escala estadística tinguin aquestes variables, la seva descripció i anàlisi es podrà dur a terme amb unes tècniques o unes altres. Per tant, en primer lloc, és important definir clarament què entenem per variable i sobretot tenir clars els criteris de classificació per aplicar-hi els procediments d’anàlisi adequats.

A escala estadística podem diferenciar o classificar les variables en dos tipus diferents:

1. Variables qualitatives (o categòriques): són les característiques que només es poden manifestar mitjançant categories considerades qualitats o atributs. Per exemple, sexe, lloc de residència, etc. En aquest tipus de variables, les modalitats són categories.
2. Variables quantitatives: són les característiques que es poden manifestar i mesurar mitjançant un nombre real. Les modalitats corresponen a nombres reals. Dins d’aquestes variables cal diferenciar entre:
   • Variables quantitatives discretes: els valors que poden presentar només són nombres aïllats. Per tant, entre dos valors consecutius no admeten valors intermedis. Per exemple, nombre de fills.
   • Variables quantitatives contínues: poden presentar valors infinits entre dos valors consecutius. Per exemple, edat, alçada, etc. Les variables contínues, per raons de precisió dels instruments de mesura, es poden considerar a la pràctica variables discretes. De totes maneres, per calcular alguns estadístics és convenient, en alguns casos, diferenciar entre el valor aparent i els límits reals d’aquest valor. Així, el valor aparent 50 (per exemple, una edat de 50 anys) és en realitat un interval entre els valors reals 49,5 i 50,5.

Quan assignem valors numèrics a cada una de les modalitats d'una variable estem generant una escala de mesura. Aquest procés s'aplica d'acord amb unes regles establertes, de les quals s'ocupa la teoria de la mesura.

Així, si assignem un 1 a la modalitat “Gens satisfet” com a resposta a la pregunta sobre satisfacció en els serveis d’una biblioteca pública, un 2 a la resposta “Ni molt ni poc satisfet” i un 3 a la resposta “Molt satisfet”, estem generant una escala de mesura per valorar el grau de satisfacció dels usuaris.

En funció de les relacions que podem comprovar empíricament entre els valors numèrics assignats a les modalitats de l'escala, i els tipus de transformacions que podem fer d’aquests valors, podem distingir quatre tipus d’escales de mesura:

• Nominals
• Ordinals
• D’interval
• De raó

L’escala nominal és aquella en la qual només es pot comprovar empíricament si les modalitats són iguals o diferents (relació d’igualtat o de desigualtat). Les transformacions possibles poden ser qualssevol, ja que els nombres o valors numèrics assignats a les modalitats són meres etiquetes de les modalitats o categories.

En les escales ordinals, a més de poder comprovar si les modalitats són iguals o diferents, podem saber quines són més grans o prèvies a les altres en cas que siguin diferents. Per tant, els nombres assignats a les diferents modalitats admeten les relacions d’igualtat o de desigualtat i d’ordre. Les transformacions possibles són totes les que mantinguin l’ordenació original.

En les escales d’interval, a més de poder comprovar empíricament la igualtat o desigualtat i l’ordre, també s’estableix una unitat empírica de mesura que ens permet determinar la distància entre dues modalitats qualssevol. El valor nul de l’escala és designat per convenció (arbitrari).

En l’escala de raó, a més de permetre verificar empíricament totes les relacions de les escales anteriors, hi ha un valor nul (no arbitrari) que indica l’absència de la característica que s'ha de mesurar.

En aquesta unitat presentarem els diferents procediments amb exemples pràctics que permetin un millor seguiment dels continguts treballats.

Per organitzar i presentar les dades d’una variable qualitativa, el més habitual és utilitzar una taula de freqüències.

Si volem obtenir la taula de freqüències del sexe de la mostra de 1.046 subjectes de la matriu de dades “dades_alt_penedes”, la millor alternativa amb l’Excel és utilitzar l’opció de “Histograma” dins els programes preconfigurats d’anàlisi de dades.

A continuació, farem una activitat pas a pas per posar en pràctica les taules de freqüència.

Les freqüències que apareixen en la taula que acabem de crear són les anomenades “freqüències absolutes”, ja que són el recompte del nombre de casos de cada categoria de la variable en la mostra estudiada. Aquestes freqüències se simbolitzen habitualment com “f_i”. El sumatori d’aquestes freqüències absolutes ha de donar, si no hi ha cap cas sense valor, el nombre total de subjectes. En aquest exemple, el total seran els 1.046 subjectes de la mostra.

De totes maneres, ens pot ser útil, per raons que exposarem més endavant, obtenir també les anomenades “freqüències relatives”. Les freqüències relatives i els símbols que s'utilitzen habitualment per representar-les són els següents:

La freqüència relativa en proporcions s’obté dividint la freqüència absoluta de cada categoria pel total de casos o subjectes. El sumatori total d’aquestes freqüències ha de ser igual a 1.

S’obté dividint la freqüència absoluta de cada categoria pel total de casos o subjectes, i multiplicant el resultat per cent. El sumatori total d’aquestes freqüències ha de ser igual a 100.

Les freqüències relatives seran més útils que les absolutes quan vulguem comparar una mateixa variable obtinguda en mostres de diferents mides. Així, podríem comparar les dades anteriors amb les d’una mostra d’habitants d’alguna altra comarca en què la quantitat fos diferent dels 1.046 de la nostra mostra.

Si la variable qualitativa que descrivim està mesurada en una escala ordinal, a més de les freqüències anteriors, absolutes o relatives, també podem obtenir les freqüències acumulades per cada categoria, que ens informaran del nombre de casos o subjectes d’un nivell igual o inferior a una categoria determinada.

En aquesta taula de freqüències hem obtingut, a més de les freqüències absolutes i relatives comentades anteriorment, les freqüències acumulades també absolutes o relatives, que són:

La freqüència absoluta acumulada s’obté sumant la freqüència absoluta d’una categoria amb les de les categories inferiors. La freqüència absoluta acumulada fins a l'última categoria ha de ser igual al nombre total de casos o subjectes de la mostra.

La freqüència relativa acumulada en proporcions s’obté dividint la freqüència acumulada absoluta de cada categoria pel total de casos o subjectes. La freqüència relativa acumulada en proporcions per l'última categoria ha de ser igual a 1.

La frqüència relativa acumulada en percentatges s’obté dividint la freqüència absoluta acumulada de cada categoria pel total de casos o subjectes, i multiplicant el resultat per cent. La freqüència relativa acumulada en percentatges per l'última categoria ha de ser igual a 100.

Les freqüències acumulades ens permeten obtenir informació sobre el total o el percentatge de casos, per sobre o per sota d’una determinada categoria.

Evidentment, si la variable qualitativa que analitzem no s'hagués mesurat en una escala ordinal, les freqüències acumulades no tindrien cap sentit, ja que l'ordenació de les categories de la variable no seria natural.

Les dues representacions gràfiques que s'utilitzen més sovint quan descrivim variables qualitatives són els diagrames de barres i els ciclogrames o diagrames de sectors.

A partir de la taula que hem elaborat a l'apartat sobre freqüències acumulades, podríem representar el diagrama de barres amb les freqüències acumulades absolutes o relatives d’una variable qualitativa mesurada amb una escala ordinal. Així, per representar el mateix exemple anterior de la variable “Edat-2”, en forma de diagrama de barres amb els percentatges acumulats, ho faríem de la manera següent:

Per dissenyar el diagrama de barres acumulat amb l’Excel podem utilitzar el gràfic de “Columnas”.

L’altra representació gràfica que s'utilitza molt sovint per representar els valors d’una variable qualitativa és el ciclograma o diagrama de sectors.

Els passos que cal seguir per dibuixar un ciclograma són els següents:

1. Dibuixem una circumferència.
2. Dins la circumferència, repartim una porció d’àrea per cada categoria que sigui proporcional a la freqüència absoluta (o relativa) d’aquella categoria.

Ja hem comentat anteriorment que les variables quantitatives permeten un ventall de possibilitats d’anàlisi estadística més ampli que les variables qualitatives, sobretot pel que fa al càlcul de valors representatius que resumeixin característiques concretes de les variables.

Així, en aquesta unitat:

• Veurem com podem adaptar les taules de freqüències exposades en la unitat anterior en l'apartat de variables quantitatives.
• Comentarem les representacions gràfiques que s’utilitzen més habitualment per estudiar aquests tipus de variables.
• Presentarem els diferents indicadors estadístics que ens permeten resumir en un sol valor algunes característiques de les distribucions de variables quantitatives. Les característiques poden ser la centralitat o la tendència central, la variabilitat o la dispersió, l'ordre, la posició o la forma.

En la unitat anterior hem definit què entenem per taula de freqüències. Si ho recordem, dèiem:

Cal tenir present que agrupar els valors d’una variable quantitativa en intervals és un recurs que ens pot ser útil per organitzar, presentar i representar gràficament les dades. Però té un inconvenient: si analitzem posteriorment les dades agrupades, perdrem informació sobre els valors reals de la variable i, segurament, cometrem errors d’agrupació que poden ser més o menys rellevants en funció de l’amplitud dels intervals. Per tant, sempre és millor analitzar posteriorment la variable a partir dels valors originals no agrupats.

L'histograma, molt similar al diagrama de barres de les variables qualitatives, té com a característica diferencial que els rectangles corresponents a cada interval estan units, a diferència del diagrama de barres, en què estan separats.

Això és coherent amb el fet que:

• Les categories d’una variable qualitativa són valors discrets i separats.
• Els valors de la variable quantitativa són continus.

A continuació veurem, pas a pas, com podem obtenir l'histograma amb els rectangles adjacents units.

D'altra banda, en determinats estudis també ens pot ser útil obtenir la representació gràfica de l'histograma, però a partir dels percentatges acumulats. Seguirem les instruccions que ja hem comentat pel cas d’una variable qualitativa, i n'obtindrem la representació gràfica a través de la pantalla següent:

El polígon de freqüències és una gràfic derivat de l'histograma. Per obtenir-lo, només cal que unim mitjançant unes línies rectes el punt mitjà de les bases superiors dels rectangles de l'histograma.

En una distribució de dades d’una variable quantitativa podem estudiar-hi diferents característiques a partir del càlcul de indicadors de cada una.

Les diferents característiques són:

• La tendència central (centralització)
• La variabilitat o dispersió
• L’ordre o la posició
• La forma
  • La simetria
  • L’apuntament o la curtosi

Per obtenir aquests indicadors podem utilitzar les funcions de l’Excel.

De totes maneres, com veurem al final d’aquest apartat, l’Excel també incorpora un programa preconfigurat que ens proporciona un resum dels indicadors.

Els indicadors de tendència central ens informen del punt central de la distribució de les dades de la variable estudiada. Són valors numèrics que representen o resumeixen amb una sola dada el centre de la distribució.

Els més utilitzats són:

• La mitjana aritmètica
• La mediana
• La moda

La mitjana és l'indicador més utilitzat per resumir la tendència central de la distribució d’una variable quantitativa.

La mitjana es representa amb el símbol , i es calcula sumant tots els valors de la distribució i dividint el resultat pel nombre de valors o dades.

Matemàticament, la mitjana té com a característica més destacable que si sumem totes les diferències entre cada valor de la distribució i la mitjana (el que anomenen puntuacions de desviació), la suma serà igual a zero. Així, si calculéssim la diferència entre cada edat dels 1.046 subjectes de la mostra i la mitjana de 40,71, i suméssim totes les diferències, el resultat seria igual a zero. Lògicament, es produeix aquest resultat perquè la mitjana és el centre matemàtic de la distribució de les dades.

Dit d’una altra manera, la mediana divideix la distribució de dades en dues meitats:

1. La meitat de valors per sota la mediana.
2. La meitat de valors per sobre.

Per tant, per obtenir la mediana només haurem de buscar, un cop hem ordenat les dades de la variable estudiada, la puntuació que ocupa la posició:

La mediana té una característica que no té la mitjana aritmètica, i que en alguns casos la pot fer més representativa o útil que la mateixa mitjana. Aquesta característica és l'anomenada robustesa.

La mitjana es veuria afectada per aquest valor extrem de 120, encara que en l'exemple, com que la mostra és d'una mida considerable, un sol valor atípic o extrem tampoc no repercutiria de manera rellevant sobre la mitjana.

De totes maneres, cal tenir en compte aquesta característica de la mediana a l’hora de decidir quin pot ser l'indicador de tendència central més representatiu d’una distribució de dades:

La moda és el valor més freqüent d’una distribució de dades.

Podem identificar diferents tipus de distribucions en funció de la moda:

• Amodal: si no hi ha cap valor que es repeteixi més que els altres.
• Multimodals (bimodals, trimodals, etc.): distribucions que tinguin més de una moda.

Per obtenir la moda amb l’Excel, utilitzem la funció “MODA”, seguim les indicacions ja exposades per els indicadors anteriors.

La moda no és un indicador molt utilitzat per caracteritzar la tendència central de una distribució, però pot ser útil per obtenir un perfil característic d’una mostra de dades. Així, si tractéssim d’obtenir el perfil o prototip d’edat dels habitants de l’Alt Penedès, podríem dir que és una persona de 40 anys.

• L'indicador de tendència central més utilitzat i més representatiu per a variables quantitatives és la mitjana.
• De totes maneres, com hem comentat anteriorment, si la distribució de la variable estudiada és força asimètrica (o sigui, que tingui valors extrems o atípics), la mediana pot ser més representativa que la mitjana, ja que no es veu afectada pels valors extrems. En aquests casos, és aconsellable indicar els dos valors (mitjana i mediana) per interpretar de manera més adequada la centralitat de la distribució de dades.
• També cal tenir en compte que si la variable és qualitativa mesurada amb una escala ordinal, no podem calcular la mitjana aritmètica i, per tant, l'indicador de tendència central més adequat serà la mediana.
• Finalment, la moda només té sentit en la descripció de variables qualitatives mesurades amb escales nominals (ja que és l’únic indicador calculable), i en determinats casos en què l’objectiu és obtenir un perfil característic o prototípic d’una determinada variable.

Sovint, per descriure una distribució de dades d’una variable quantitativa, no n'hi ha prou de calcular i interpretar algun indicador de tendència central, ja que aquest identifica el valor central més representatiu però no ens aporta informació respecte als altres valors de la variable.

Els indicadors de variabilitat o dispersió més utilitzats són:

• La variància
• La desviació típica
• El coeficient de variació

Els indicadors de dispersió s'obtenen del càlcul de les anomenades puntuacions diferencials.

Sembla evident que com més elevades són les puntuacions diferencials, més dispersa és la característica que estem estudiant (més diferències hi ha entre cada puntuació i la mitjana de totes); i com més baixes són les puntuacions de diferència, menys dispersa és la mostra respecte a aquesta característica (en l’exemple: l’edat). Per tant, a partir de les puntuacions diferencials podrem obtenir indicadors que ens permetin interpretar si la distribució de valors de la variable és més o menys dispersa.

De totes maneres, a l’hora de sumar totes les puntuacions de diferència d’una variable ens trobem que, com a conseqüència de la característica esmentada de la mitjana, el sumatori és igual a zero.

El recurs per obtenir un indicador de variabilitat a partir de les puntuacions diferencials és elevar al quadrat les puntuacions de diferència, amb la qual cosa se soluciona el problema del valor nul del sumatori.

En aquest punt, cal tenir en compte que podem diferenciar entre dues fórmules, lleugerament diferents, de calcular la variància. El perquè d’aquestes dues formes de càlcul queda fora de l’abast del curs, ja que és una qüestió d’estadística inferencial.

Les dues fórmules de càlcul permeten diferenciar entre el que habitualment es considera:

• Variància mostral
• Variància poblacional

La variància poblacional només es diferencia pel fet que en lloc de dividir-se per «n-1», es divideix per «n». Si la mida de la mostra és elevada, la diferència entre els valors de les dues variàncies serà mínima.

A l’hora d'interpretar el valor de la variància, ens trobem amb la dificultat que s'ha calculat elevant al quadrat les puntuacions de diferència, i, per tant, les unitats són les pròpies de la variable estudiada però elevades al quadrat.

Per aquest motiu, l'indicador de variabilitat o dispersió més utilitzat no és la variància, sinó la desviació típica, que no és altra cosa que l’arrel quadrada de la variància.

D’aquesta manera, tenim un indicador de variabilitat o dispersió que podem interpretar amb les unitats pròpies de la variable estudiada. També, com en el cas de la variància, podem distingir entre la desviació típica mostral (la més habitual) i la poblacional. Tant l'una com l’altra es calculen obtenint l’arrel quadrada de la variància corresponent (ja sigui la mostral o la poblacional).

Podem obtenir la desviació típica mitjançant l’Excel utilitzant la funció DESVEST.

Com en el cas de la variància, els valors mostral i poblacional són pràcticament iguals, ja que el nombre de subjectes de la mostra (n) és elevat.

El valor de l'indicador de variabilitat ja es pot interpretar en les unitats pròpies de la variable estudiada.

Si la desviació típica és un indicador de variabilitat absolut, ja que s'expressa en funció de les unitats de la variable estudiada, el coeficient de variació és un indicador de variabilitat relatiu ja que representa el percentatge de variació respecte a la mitjana de la distribució. Així, el coeficient de variació ens serà útil quan vulguem comparar la variabilitat de dues variables diferents o de la mateixa variable en dues mostres amb mitjanes diferents.

El coeficient de variació s’interpreta com un percentatge de variabilitat respecte a la mitjana de la distribució, i com més dispersió presenti la variable estudiada més elevat serà.

L’Excel no té cap funció per calcular directament el coeficient de variació, però el podrem obtenir fàcilment a partir de la seva fórmula.

Els indicadors d’ordre o posició ens seran útils quan vulguem determinar quin percentatge de subjectes estan per sota o per sobre d’un determinat valor de la variable, o per conèixer el valor que deixa per sota un determinat percentatge de casos o subjectes.

L'indicador d’ordre o posició més habitual és el percentil, encara que també s’utilitza un indicador derivat d'aquest mateix indicador, el quartil.

Els percentils tenen un rang de valors d'1 a 100. Així, el percentil 30 és el valor de la distribució que deixa un 30% de les dades per sota i, evidentment, un 70% per sobre.

Per tant, en els exemples que exposàvem anteriorment, per determinar quin percentatge d’habitants de l’Alt Penedès tenen menys de 25 anys, hauríem de calcular quin percentil correspon a una edat de 25 anys; i si volem triar el 20% d’habitants amb més edat, haurem de buscar quina edat correspon al percentil 80, que és el que deixa per sobre un 20% de casos amb valors més elevats.

Per obtenir un percentil amb l’Excel, utilitzarem la funció PERCENTIL.

D'altra banda, per determinar quin percentil correspon a un valor determinat de la variable, utilitzarem la funció RANGO.PERCENTIL.

Si els percentils divideixen la distribució en 100 parts iguals, el quartils ho fan en 4 parts iguals.

Així, tindrem quatre tipus de quartils:

• El quartil 1 (Q₁) és el valor de la distribució que deixa per sota, un cop ordenades les dades de menor a major, el 25% de casos o subjectes.
• El quartil 2 (Q₂) deixa per sota un 50% de casos.
• El quartil 3 (Q₃) que deixa un 75% de casos per sota.
• El quartil 4 és el valor màxim de la distribució.

Com podem observar, de fet, els quartils són uns percentils determinats. El quartil 1 és el percentil 25, el quartil 2, el percentil 50, i el quartil 3, el percentil 75.

Per obtenir els diferents quartils amb l’Excel utilitzarem la funció “CUARTIL”. En el quadre de diàleg d’aquesta funció, hem d'introduir-hi les caselles de la variable que volem estudiar a “Matriz” i el quartil que volem obtenir a “Cuartil”.

Els indicadors de forma no són tan utilitzats per descriure una variable quantitativa però ens poden ser útils, en alguns casos, per determinar l'adequació d'un indicador o un altre.

En els indicadors de forma, podem distingir entre:

• Els de simetria
• Els de curtosi o apuntament

• La distribució serà simètrica quan els valors per sota i per sobre de la mitjana segueixin un comportament similar (gràficament, tenen una forma similar).
• La distribució serà asimètrica quan els valors per sobre o per sota del punt mitjà tinguin un comportament diferent (gràficament, tenen una configuració diferent).

Un gràfic com l'histograma pot ser força informatiu sobre la possible simetria o asimetria de la distribució. L'asimetria pot ser:

• Positiva: si hi ha més casos en el rang de valors inferiors.
• Negativa: si hi ha més casos en el rang de valors superiors.

Així, els tres histogrames següents corresponents a dues distribucions asimètriques (positiva o negativa) i una de simètrica:

Hi ha diferents indicadors de simetria, però aquí només exposarem el que podem obtenir mitjançant l’Excel.

Si la distribució és simètrica també es pot obtenir una nova característica de la forma de la distribució, l'anomenada curtosi.

Així, si hi ha molts valors concentrats a prop de la mitjana de la distribució, la forma de l'histograma serà apuntada, mentre que si el valors no es concentren al voltant de la mitjana, la forma de l'histograma serà aplanada.

Per obtenir aquest indicador amb l’Excel utilitzarem la funció «CURTOSIS».

Si el valor de l'indicador és pròxim a zero, la distribució serà normal; si és positiu, serà una distribució apuntada, mentre que si és negatiu, serà aplanada.

L’Excel ens ofereix, dins dels programes preconfigurats, una opció que ens calcula de manera conjunta la major part d’indicadors descriptius comentats en els apartats anteriors. Aquesta opció és molt interessant, ja que ens estalvia la feina d'anar-los obtenint, funció rere funció, un per un.

Per activar aquest opció, hem de seguir la seqüència habitual per a aquests programes preconfigurats: “Herramientas”, “Análisis de datos”, i “Estadística descriptiva” dins les diferents funcions.

El resum d’indicadors descriptius que ens ha calculat és el següent:

Ja hem comentat la interpretació de cada un dels indicadors quan ens hi hem referit en els apartats anteriors.

Les taules de freqüències ens proporcionen informació sobre els diferents valors, modalitats o categories de la variable i el recompte absolut o relatiu del nombre de casos de cada categoria.

Exemple 1:

• f_i = Freqüència absoluta: recompte del nombre de casos de cada categoria de la variable en la mostra estudiada.
• Obtenció amb l’Excel: programa preconfigurat de “Análisis de datos”: “Histograma”.
• Freqüència relativa en proporcions (p_i): Proporció, o sigui tant per u, del nombre de casos (subjectes) de cada categoria sobre el total de la mostra. S’obté dividint la freqüència absoluta de cada categoria pel total de casos o subjectes:

Fórmula
Per als homes de l'exemple

• Freqüència relativa en percentatges (P_i): percentatge, o sigui tant per cent, del nombre de casos (subjectes) de cada categoria sobre el total de la mostra. S’obté dividint la freqüència absoluta de cada categoria pel total de casos o subjectes, i multiplicant el resultat per cent:

Fórmula
Per als homes de l'exemple

Exemple 2:

• Freqüència absoluta acumulada (f_a): recompte del nombre de casos (subjectes) que pertanyen a cada categoria o a categories inferiors. S’obté sumant la freqüència absoluta d’una categoria amb les de les categories que són inferiors a aquesta mateixa categoria.
• Freqüència relativa acumulada en proporcions (p_a): proporció, o sigui tant per u, del nombre de casos (subjectes) de cada categoria o de categories inferiors sobre el total de la mostra. S’obté dividint la freqüència acumulada absoluta de cada categoria pel total de casos o subjectes:

Fórmula
Per als subjectes d'entre 16 i 64 anys de l'exemple 2

• Freqüència relativa acumulada en percentatges (P_a): percentatge, o sigui tant per cent, del nombre de casos (subjectes) de cada categoria o de categories inferiors sobre el total de la mostra. S’obté dividint la freqüència absoluta acumulada de cada categoria pel total de casos o subjectes, i multiplicant el resultat per cent:

Fórmula
Per als subjectes d'entre 16 i 64 anys de l'exemple 2

• Obtenció amb l’Excel: programa preconfigurat de “Análisis de datos”, “Histograma”.

• Obtenció amb l’Excel: “Insertar”, “Gráfico” i “Circular”.

Exemple:

• Obtenció amb l’Excel: programa preconfigurat de “Análisis de datos”, “Histograma”.

• Obtenció amb l’Excel: programa preconfigurat de “Análisis de datos”, “Histograma”.

• Obtenció amb l’Excel: “Insertar”, “Gráfico” i “Líneas”.

()

Definició	Sumatori de totes les dades de la distribució dividit pel nombre de dades.
Ús i interpretació	Indicador més àmpliament utilitzat. Menys representatiu en cas que la distribució sigui força asimètrica.
Fórmula
Obtenció amb l’Excel	“Insertar”, “Función” i “PROMEDIO”.

(S²)

Definició	Sumatori de les puntuacions de desviació al quadrat dividit pel nombre de valors menys un.
Ús i interpretació	Menys utilitzat que la desviació típica, ja que les unitats que la componen són les pròpies de la variable al quadrat
Fórmula
Obtenció amb l’Excel	“Insertar”, “Función” i “VAR”.

(P_k)

Definició	Valor de la distribució de dades que, un cop ordenades de menor a major, deixen un percentatge (k) determinat de casos o subjectes per sota.
Ús i interpretació	Útil a l'hora de buscar el valor de la distribució que deixa un percentatge determinat de casos per sota o per sobre.
Fórmula	Pk: buscar el valor de la distribució que ocupa la posició, en què “n” és el nombre total de subjectes o casos i «k», el percentil que busquem (de 1 a 100).
Obtenció amb l’Excel	“Insertar”, “Función” i “PERCENTIL”.